ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/โครงสร้างละเอียด

โครงสร้างละเอียด (Fine Structure) เป็นโครงสร้างของอะตอมไฮโดรเจนซึ่งมีความละเอียดกว่ารูปแบบเดิมซึ่งคิดเพียงผลของศักย์จากแรงคูลอมบ์ (Coulomb force) โดยผลจากการคิดพลังงานรวมจากการแก้ไขผ่านทางทฤษฎีสัมพัทธภาพ (Relative Correction) และจากสนามแม่เหล็กที่โปรตรอนและอิเล็กตรอนสร้างขึ้นมาจากอันตรกิริยา (Spin–orbit coupling) อันถือว่าเป็นผลจากการรบกวน

Relativistic Correction

เนื่องจากว่าอิเล็กตรอนและโปรตรอนมีมวลที่เล็กมากๆและวิ่งโคจรระหว่างกันด้วยความเร็วสูงจนใกล้เคียงกับความเร็วแสง(วิ่งด้วยความเร่ง) หากจะใช้กฏของนิวตันมาอธิบายจะไม่ครอบคลุมในกรณีที่ความเร็วสูงจนใกล้ความเร็วแสง ทำให้เราจะต้องพิจารณาผลของสัมพัทธภาพด้วยค่าที่จะต้องแก้ไขคือ

โมเมนตัมตามสัมพัทธภาพ $p=\gamma mv$

พลังงานรวมตามสัมพัทธภาพ $E=\gamma m{c}^2$

โดยที่ $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

เมื่อนำสมการโมเมนตัมและพลังงานรวมตามสัมพัทธภาพมายกกำลังสองแล้วนำมาลบกันจะได้ว่า

$E^2-p^2{c}^2=m^2{c}^4$

จากพลังงานจลน์เชิงสัมพัทธภาพ $T=E-m{c}^2$ หรือ $E=T+m{c}^2$ จะได้ว่า

$(T+m{c}^2{)}^2-p^2{c}^2=m^2{c}^4$

จะได้พลังงานจลน์เชิงสัมพัทธภาพ เป็นดังนี้

$T=\sqrt{m^2{c}^4+p^2{c}^2}-m{c}^2=T=m{c}^2[\sqrt{1+{\left(\frac{p}{mc}\right)}^2}-1]$

จากการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor expansion) $\sqrt{1+x^2}=1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{8}+...$ จะได้

$T=m{c}^2[1+\frac{1}{2}(\frac{p}{mc}{)}^2-\frac{1}{8}(\frac{p}{mc}{)}^4+...-1]$

ซึ่งจัดรูปจะได้

$T=\frac{p^2}{2m}-\frac{p^4}{8m^3{c}^2}+...$

เนื่องจากพจน์ที่สามเป็นต้นไปมีค่าน้อยมาก เนื่องจาก $p<<mc$ จึงสามารถประมาณโดยการตัดพจน์ที่สามเป็นต้นไปทิ้ง จะได้

$T\cong \frac{p^2}{2m}-\frac{p^4}{8m^3{c}^2}$

ดังนั้นแฮมิลโทเนียนรวมของระบบที่แก้ไขโดย Relative Correction คือ

$H=T-V=H_0+H_{Re}=\frac{p^2}{2m}+V-\frac{p^4}{8m^3{c}^2}$

ซึ่งแฮมิลโทเนียนที่เป็นพจน์ของการรบกวนระบบจาก Relative Correction คือ

$H_{Re}=-\frac{p^4}{8m^3{c}^2}$

ซึ่งเรียกว่า Perturbation Harmionian of Relative Correction

จากนั้นเราจะหาพลังงานได้จากแฮมิลโทเนียนจาก

$E_r^{(1)}=⟨\psi |H_r|\psi ⟩=-\frac{1}{8m^3{c}^2}⟨\psi |p^4|\psi ⟩$

เนื่องจากตัวดำเนินการ $p^4$ ไม่ใช่ตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน (Hermitian operators) แต่ตัวดำเนินการ $p^2$ เป็นตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน จึงแยกตัวดำเนินการ $p^4$ ได้ออกมาเป็นดังนี้

$E_r^{(1)}=-\frac{1}{8m^3{c}^2}⟨\psi |p^2{p}^2|\psi ⟩=(⟨\psi |p^2|)(p^2|\psi ⟩)$

จากสมการชโรดิงเจอร์

$H_0|\psi ⟩=E_n|\psi ⟩$

โดยที่ $H_0=\frac{p^2}{2m}+V$ จะได้

$(\frac{p^2}{2m}+V)|\psi ⟩=E_n|\psi ⟩$

ซึ่งย้ายข้างจะได้

$p^2|\psi ⟩=2m(E_n-V)|\psi ⟩$

จะได้ว่า

$E_r^{(1)}=-\frac{1}{8m^3{c}^2}(⟨\psi |(2m{)}^2(E_n-V{)}^2|\psi ⟩)$ ซึ่งจัดรูปได้เป็น

$E_r^{(1)}=-\frac{1}{2m{c}^2}(E_n^2-2E_n⟨V⟩+⟨V^2⟩)$

ในกรณีของอะตอมไฮโดรเจน $V=-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$ ดังนั้น จะได้ว่า

$⟨V⟩=-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}⟨\frac{1}{r}⟩$ โดยที่จากการคำนวณ $⟨\frac{1}{r}⟩=\frac{1}{n^{2}a}$ จะได้ $⟨V⟩=-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{n^{2}a}$ และ

$⟨V^2⟩={\left(\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\right)}^2⟨\frac{1}{r^2}⟩$ โดยที่จากการคำนวณ $⟨\frac{1}{r^2}⟩=\frac{1}{(l+\frac{1}{2})n^3{a}^2}$ จะได้ $⟨V^2⟩={\left(\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\right)}^2\frac{1}{(l+\frac{1}{2})n^3{a}^2}$

ดังนั้น จะได้ว่า

$E_r^{(1)}=\frac{1}{2m{c}^2}(E_n^2+2E_n\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{n^{2}a}+{\left(\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\right)}^2\frac{1}{(l+\frac{1}{2})n^3{a}^2})$

จากพลังงานของอะตอมไฮโดรเจน $E_n=-\left[\frac{m}{2{\hslash }^2}{\left(\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\right)}^2\right]\frac{1}{n^2}$ และรัศมีของบอห์ร $a=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m{e}^2}$ แทนค่าจัดรูป จะได้ค่าแก้ไขพลังงานจาก Relative Correction คือ

$E_r^{(1)}=-\frac{{\left(E_n\right)}^2}{2m{c}^2}\left[\frac{4n}{l+\frac{1}{2}}-3\right]$

Spin-Orbit Coupling

Spin-Orbit Coupling เป็นผลเกิดขึ้นเนื่องจากอิเล็กตรอนวิ่งโคจรรอบๆโปรตอน หรือโปรตอนวิ่งรอบอิเล็กตรอนในแต่ละกรอบอ้างอิง ทำให้เกิดอันตรกิริยาขึ้นระหว่างโปรตอนและอิเล็กตรอน อันตรกิริยาดังกล่าวเป็นผลทำให้เกิดสนามแม่เหล็กที่อิเล็กตรอนและโปรตอนสร้างขึ้น โดยถือว่าเป็นผล ของการรบกวนจึงต้องพิจารณาค่าการแก้ไข ในกรอบที่โปรตอนวิ่งรอบอิเล็กตรอนจะทำให้เกิดสนามแม่เหล็กขึ้นตามกฏของบิโอต์-ชาวาร์ต ดังนี้

$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{e(-\overrightarrow{v})\times \overrightarrow{r}}{r^3}$

โดยที่โมเมนตัมเชิงมุมรอบนิวเคลียสในกรอบที่โปรตอนวิ่งรอบอิเล็กตรอนคือ

$\overrightarrow{L}=-m(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{r})$ หรือ $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{r}=-\frac{\overrightarrow{L}}{m}$

แทนค่าลงในสมการของกฎบิโอต์-ชวาร์ต จะได้ว่า

$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{e}{r^3}\frac{\overrightarrow{L}}{m}$

จากความสัมพันธ์ของอัตราเร็วคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในสุญญากาศ $c$ สภาพยอมของสุญญากาศ ${\epsilon }_0$ และค่าความสามารถซึมซับแม่เหล็กของสุญญากาศ ${\mu }_0$

$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}$ หรือ ${\mu }_0=\frac{1}{{\epsilon }_0{c}^2}$ จะได้ $\overrightarrow{B}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e}{m{c}^2{r}^3}\overrightarrow{L}$

โมเมนต์ขั้วคู่แม่เหล็ก (Magnetic dipole moment) ${\mu }_s$ สามารถหาได้จากสมการ

$\overrightarrow{{\mu }_s}=\frac{q}{2m}\overrightarrow{S}=-\frac{e}{2m}\overrightarrow{S}$ โดยที่ $\overrightarrow{S}$ คือโมเมนตัมเชิงมุมสปิน (Spin angular momentum)

แต่เนื่องจากในการทดลองจริงได้ผลไม่ตรงกับทฤษฎี จึงมีการคูณค่าที่ได้ด้วย g-factor ซึ่งในกรณีของอิเล็กตรอน $g=2$ จะได้ว่า

$\overrightarrow{{\mu }_s}=-\frac{e}{m}\overrightarrow{S}$

ซึ่งจะได้พลังงานรวมสนามแม่เหล็กเป็นแฮมิลโทเนียนจากสมการ

$H=-\overrightarrow{{\mu }_s}\cdot \overrightarrow{B}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{m^2{c}^2{r}^3}\overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{S}$

เนื่องจากการประมาณดังกล่าว กรอบที่โปรตอนวิ่งรอบอิเล็กตรอนไม่ใช่กรอบอ้างอิงเฉื่อย ดังนั้นจะต้องมีการแก้ไขโดยวิธี Thomas Precession โดยการคูณพจน์ทางขวาด้วย $\frac{1}{2}$ จะได้ว่า

$H_{so}=\frac{1}{8\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{m^2{c}^2{r}^3}\overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{S}$

จากนั้นเราจะหาพลังงานได้จากแฮมิลโทเนียนได้โดยเลือกใช้ฐาน (Basis) คือ $|n,l,j,m_j⟩$ เนื่องจากโมเมนตัมเชิงมุมรวม $\overrightarrow{J}=\overrightarrow{L}+\overrightarrow{S}$ มีค่าคงที่ จะได้ว่า

$E_{so}^{(1)}=⟨n,l,j,m_j\left|H_{so}^{(1)}\right|n,l,j,m_j⟩$

$E_{so}^{(1)}=\frac{1}{8\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{m^2{c}^2}⟨n,l,j,m_j|\frac{1}{r^3}\overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{S}|n,l,j,m_j⟩$

พิจารณาตัวดำเนินการ $\overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{S}$ จากโมเมนตัมเชิงมุมรวม $\overrightarrow{J}=\overrightarrow{L}+\overrightarrow{S}$ จะได้

$J^2=L^2+S^2+2\overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{S}$

ดังนั้น จะได้ว่า

$\overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{S}=\frac{1}{2}(J^2-L^2-S^2)$

เนื่องจากผลของตัวดำเนินการเมื่อไปกระทำ คือ

$J^2|n,l,j,m_j⟩=j(j+1){\hslash }^2|n,l,j,m_j⟩$

$L^2|n,l,j,m_j⟩=l(l+1){\hslash }^2|n,l,j,m_j⟩$

$S^2|n,l,j,m_j⟩=s(s+1){\hslash }^2|n,l,j,m_j⟩$

จะได้

$E_{so}^{(1)}=\frac{1}{8\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{m^2{c}^2}\frac{1}{2}[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]{\hslash }^2⟨n,l,j,m_j\left|\frac{1}{r^3}\right|n,l,j,m_j⟩$

สำหรับในกรณีของอิเล็กตรอนเลขควอนตัมสปิน $s=\frac{1}{2}$ เสมอ จะได้ว่า

$E_{so}^{(1)}=\frac{1}{8\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{m^2{c}^2}\frac{1}{2}[j(j+1)-l(l+1)-\frac{3}{4}]{\hslash }^2⟨n,l,j,m_j\left|\frac{1}{r^3}\right|n,l,j,m_j⟩$

จากการคำนวณ $⟨\frac{1}{r^3}⟩=\frac{1}{l(l+\frac{1}{2})(l+1)n^3{a}^3}$ จะได้

$E_{so}^{(1)}=\frac{1}{8\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{m^2{c}^2}\frac{{\hslash }^2}{2}\frac{[j(j+1)-l(l+1)-\frac{3}{4}]}{l(l+\frac{1}{2})(l+1)n^3{a}^3}$

จากพลังงานของอะตอมไฮโดรเจน $E_n=-\left[\frac{m}{2{\hslash }^2}{\left(\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\right)}^2\right]\frac{1}{n^2}$ และรัศมีของบอห์ร $a=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m{e}^2}$ แทนค่าจัดรูป จะได้ค่าแก้ไขพลังงานจาก Spin-Orbit Coupling คือ

$E_{so}^{(1)}=\frac{(E_n{)}^2}{m{c}^2}\left[\frac{n[j(j+1)-l(l+1)-\frac{3}{4}]}{l(l+\frac{1}{2})(l+1)}\right]$

โครงสร้างละเอียดจากผลของ Relativistic Correction และ Spin-Orbit Coupling

เมื่อนำผลของ Relativistic Correction และ Spin-Orbit Coupling ที่ได้มารวมกัน จะได้พลังงานแก้ไขรวม $E_{fs}^{(1)}=E_r^{(1)}+E_{so}^{(1)}$

เนื่องจากเลขควอนตัมสปินของอิเล็กตรอน $s=\frac{1}{2}$ ค่าโมเมนตัมเชิงมุมรวมที่เป็นไปได้จึงเป็น $j=l\pm \frac{1}{2}$ ซึ่งเมื่อนำไปแทนในพลังงานแก้ไขรวม $E_{fs}^{(1)}$ จะได้ว่า

$E_{fs}^{(1)}=\frac{(E_n{)}^2}{2m{c}^2}(3-\frac{4n}{j+\frac{1}{2}})$

จากพลังงานของอะตอมไฮโดรเจน $E_n=-\left[\frac{m}{2{\hslash }^2}{\left(\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\right)}^2\right]\frac{1}{n^2}$ และนิยามของ Fine structure constant $\alpha =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{\hslash c}\approx \frac{1}{137}$ จะได้ $E_{fs}^{(1)}$ ในรูปของ $\alpha$ คือ

$E_{fs}^{(1)}=\frac{{\alpha }^2{E}_n}{4n^2}(\frac{4n}{j+\frac{1}{2}}-3)$

ดังนั้น จะได้พลังงานรวมของโครงสร้างละเอียด $E_{nj}=E_n+E_{fs}^{(1)}$ คือ

$E_{nj}=E_n+\frac{{\alpha }^2{E}_n}{4n^2}(\frac{4n}{j+\frac{1}{2}}-3)=-\frac{13.6\text{eV}}{n^2}[1+\frac{{\alpha }^2}{4n^2}(\frac{4n}{j+\frac{1}{2}}-3)]$