ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/ทฤษฎีการรบกวนที่ขึ้นกับเวลา

เริ่มจากระบบที่ไม่ถูกรบกวนอยู่ในสถานะไอเกน จากนั้นถูกรบกวนด้วยแฮมิลโทเนียนขึ้นกับเวลา ดังนี้

$H(r,t)=H_0(r)+\lambda H^{\text{'}}(r,t))$……………………..(1)

$\lambda$คือ ค่าคงที่ที่มีค่าน้อยๆ

ให้ สถานะไอเกนของ $H_0$คือ

${\psi }_n(r,t)={\phi }_n(r)e^{-i{\omega }_{n}t}$……………………..(2)

$H_0{\phi }_n=E_n^{(0)}{\phi }_n=\overline{h}\omega {\phi }_n$

สมมุติว่าที่เวลา t > 0 ระบบอยู่ในสถานะ

$\phi (r,t)=\sum _n{C}_n(t){\phi }_n(r,t)$……………………..(3)

จากหลักการรวมกัน (Superposition principle) $\left|C_n^2\right|$คือความน่าจะเป็นที่จะเจอสถานะ ${\phi }_n$ที่เวลา t ดังนั้นจุดประสงค์หลักก็คือคำนวณหาค่าสัมประสิทธิ์ ฟังก์ชันคลื่น $\psi (r,t)$คือผลเฉลยของสมการ

$i\overline{h}\frac{\partial \psi }{\partial t}=(H_0+\lambda H^{\text{'}})\psi$……………………..(4)

แทนสมการ (3) ในสมการสมการข้างบน และดำเนินการด้านซ้ายด้วย $⟨k|$ทั้งสมการ ได้

$i\overline{h}\frac{\partial C_k}{\partial t}=\lambda \sum _n⟨k\left|H^{\text{'}}\right|n⟩C_n$……………………..(5)

สมการนี้ เป็นอนุกรมไม่สิ้นสุด สำหรับค่าคงที่ $C_k(t)$ซึ่งทุกตัวเป็นค่าคงที่ ดังนั้นจึงเหมาะที่จะหาคำตอบในรูปแบบ

$C_k(t)=C_k^{(0)}+\lambda C_k^{(1)}(t)+{\lambda }^2{C}_k^{(2)}(t)+...$ ……………………..(6)

แทนลงในสมการ (5) และเทียบเทอมที่กำลังของ $\lambda$เท่ากัน $H_{kn}^{\text{'}}$แทนสมาชิกของเมทริกซ์ $H^{\text{'}}$ และพิจารณา

$i\overline{h}{\dot{C_k}}^{(0)}=0$

$i\overline{h}{\dot{C_k}}^{(1)}=\sum _n{H}_{kn}^{\text{'}}{C}_n^{(0)}$ ……………………..(7)

$⋮$

ที่ลำดับ ${\dot{C_k}}^{(0)}$ บ่งบอกว่าค่าคงที่นี้คงที่ไม่ขึ้นกับเวลา พิจารณากรณีเฉพาะ ให้ $C_n^{(0)}=1$ แทนในสมการ (7) จะได้

$C_k(t)=\frac{1}{i\overline{h}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}{H}_{kn}^{\text{'}}(r,t^{\text{'}})d{t}^{\text{'}}$……… $(k\ne n)$