ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/ค่าพลังงานแก้ไข

ทฤษฎีการรบกวนของสถานะทับซ้อน

พิจารณาระบบที่มีฮามิลโทเนียนในรูป

$\hat{H}=\widehat{H_0}+\widehat{H^{\prime }}$

โดย $\widehat{H^{\prime }}$ คือ การรบกวนขนาดเล็กเมื่อเทียบกับฮามิลโทเนียนที่ไม่ถูกรบกวน $\widehat{H_0}$

ในที่นี้พิจารณากรณีที่ $\widehat{H_0}$ให้สถานะทับซ้อนกันอยู่มากกว่าหรือเท่ากับสองสถานะ โดยสาเหตุของการซ้อนทับกันของสถานะเกิดจากการที่พลังงานศักย์ของระบบทางควอนตัมนั้นมีสมมาตร ดังนั้นการทำลายสมมาตรลงจึงทำให้สถานะทับซ้อนนั้นแยกออกจากกันนั้นเอง สมมติว่า ที่ระดับพลังงานหนึ่งของ$\widehat{H_0}$มีสถานะทับซ้อนกับอยู่ $q\ge 2$ สถานะ ถ้าสมมาตรที่ทำให้เกิดการซ้อนทับหายไปโดย $\widehat{H^{\prime }}$แล้ว พลังงานของสถานะนั้นๆ จะแยกออกจากกันเป็น $q$ ระดับชั้นที่แตกต่างกัน ดังนั้นเป้าหมายหลักของทฤษฎีการรบกวนของสถานะทับซ้อนคือการคำนวณค่าพลังงานและฟังก์ชันสถานะใหม่หลังการรบกวนด้วย $\widehat{H^{\prime }}$ ให้ความหมายเพิ่ม คือในระบบทางควอนตัม ที่มีสถานะสมดุลของพลังงานศักษ์ ก็จะมีหลายฟังชันก์คลื่น ซึ่งแต่ละฟังก์ชันก็ให้ค่าของพลังงานศักษ์ ต่างกัน แต่ก็มีบ้างระบบที่มีระดับพลังงานศักษ์ค่าเดียวกัน ทั้งที่ฟังชันของคลื่นของระบบเป็นคนละค่า ยกตัวอย่างเป็น บ่อศักษ์ Harmonic เป็นต้น เนื้อหา ถ้าเรารบกวนระบบที่มีค่าของสถานะพลังงานทับซ้อนกันเราสามารถทำได้เช่นนี้(ซึ่งต่างจากการแก้หาฮามมิโตเนียนของแบบค่าพลังงานไม่ซ้ำหรือ non degenerate) H ̂=H ̂_0+H ̂^' (ฮามิเนียนใหม่=ฮามิโตเนียนก่อนรบกวน+ฮามิโตเนียนหลังรบกวน)

พิจารณากรณีการรบกวนของสถานะแบบไม่ทับซ้อน เราสามารถกระจายฟังก์ชันคลื่นของการแก้ไขอันดับหนึ่งของ $\hat{H}$ ในรูปผลรวมของไอเกนฟังก์ชันของ $\widehat{H_0}$ ดังนี้

${\phi }_n^{(1)}=\sum _i^{}{c}_{ni}{\phi }_i^{(0)}$ $,q\ge 2$

โดยที่ $c_{ni}=\frac{H_{in}^{\text{'}}}{E_n^{(0)}-E_i^{(0)}}$ และ $H_{in}^{\text{'}}=⟨{\phi }_i^{(0)}\left|H^{\text{'}}\right|{\phi }_n^{(0)}⟩$

ถ้า ระดับพลังงานดังกล่าวมีทั้งหมด $q$ สถานะทับซ้อน นั้นคือ

$E_1^{(0)}=E_2^{(0)}=E_3^{(0)}=...=E_q^{(0)}$

จะทำให้ $c_{ni}$ หาค่าไม่ได้ สำหรับ $n,i\le q$ ด้วยเหตุนี้จำเป็นจะต้องสร้างฐานใหม่สำหรับสถานะทับซ้อน $(\overline{{\phi }_n})$ ขึ้นมาจาก $\left\{{\phi }_n^{(0)}\right\}$ที่ทำให้เมทริกซ์ย่อย $H_{in}^{\text{'}}$เป็นเมทริกซ์แนวทแยง

ในการทำให้อยู่ในรูปแนวทแยงนั้น กำหนดให้ฐานใหม่สำหรับสถานะทับซ้อนคือ

$\overline{{\phi }_n}=\sum _i^{}{c}_{ni}{\phi }_i^{(0)}...................................................(1)$

โดยที่ $⟨\overline{{\phi }_n}\left|H^{\text{'}}\right|\overline{{\phi }_p}⟩=H_{in}^{\text{'}},(n,p\le q).........................................................(2)$

เมื่อรวม$\{{\phi }_i^{(0)},i\ge q\}$ และ$\{\overline{{\phi }_n},n\le q\}$ เข้าด้วยกันจะได้เซตของฐานใหม่คือ

$B=\{\overline{{\phi }_1},\overline{{\phi }_2},...,\overline{{\phi }_q},{\phi }_{q+1}^{(0)},{\phi }_{q+2}^{(0)},...\}$

โดย$B$ ทำให้เมทริกซ์ $H\text{'}$อยู่ในรูปแนวทแยงคือ

$H^{\text{'}}=\left(\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{cccc}{H}_{11}^{\text{'}}& 0& ...& 0\\ 0& H_{22}^{\text{'}}& & ⋮\\ ⋮& & \ddots & \\ 0& \cdots & \cdots & H_{qq}^{\text{'}}\end{array}\right)& \begin{array}{cc}{H}_{1,q+1}^{\text{'}}& ...\\ ⋮& \\ ⋮& \\ & \end{array}\\ \begin{array}{ccccc}{H}_{q+1,1}^{\text{'}}& \cdots & \cdots & & \\ ⋮& & & & \end{array}& \ddots \end{array}\right)..........................................................(3)$

การหาค่าแก้ไขพลังงานและฟังก์ชันคลื่นอันดับที่หนึ่ง

จากสมาการ ชเรอดิงเงอร์ สำหรับฮามิลโทเนียน $\hat{H}$ คือ

$\hat{H}{\phi }_n=(\widehat{H_0}+\widehat{H^{\prime }}){\phi }_n=E_n{\phi }_n........................................................(4)$

แทน $\begin{array}{c}{\phi }_n=\overline{{\phi }_n}\\ E_n=E_n^{(0)}+E_n^{\text{'}}\end{array}\}n\le q$ ลงในสมาการที่ 4 จะได้

$H^{\text{'}}\overline{{\phi }_n}=E_n^{\text{'}}\overline{{\phi }_n}..............................................................(5)$

จากการที่เราสามารถสร้าง $\left\{\overline{{\phi }_n}\right\}$ ให้เป็นเซตของฟังก์ชันที่ตั้งฉากกัน (Schmidt orthogonalization procedure) ร่วมด้วยกับสมาการที่ 5 จะได้ว่า

$E_n^{\text{'}}=⟨\overline{{\phi }_n}\left|H^{\text{'}}\right|\overline{{\phi }_n}⟩=H_{nn}^{\text{'}},(n\le q)$

เป็นสมาชิกแนวทแยงของเมทริกซ์ $\widehat{H^{\prime }}$

ในการสร้าง $\left\{\overline{{\phi }_n}\right\}$ ที่ทำให้เมทริกซ์ $\widehat{H^{\prime }}$ อยู่ในรูปแนวทแยงนั้น เราแทนสมาการที่ 1 ลงในสมาการที่ 5

$H^{\text{'}}\sum _{i=1}^q{a}_{ni}|{\phi }_n^{(0)}⟩=E_n^{\text{'}}\sum _{i=1}^q{a}_{ni}|{\phi }_n^{(0)}⟩$

คูณทางซ้ายของสมาการด้วย$⟨{\phi }_n^{(0)}|$ จะได้ว่า

$\sum _{i=1}^q(H_{pi}^{\text{'}}-E_n^{\text{'}}{\delta }_{pi})a_{ni}=0,(n,p\le q).......................................................(6)$

สำหรับแต่ละ $p$เมื่อให้$n$และ $q$ คงที่ เราสามารถเขียนสมาการที่ 6 ให้รูปของผลคูณของเมทริกซ์ดังนี้

$\left(\begin{array}{ccccc}{H}_{11}^{\text{'}}-E_n^{\text{'}}& H_{12}^{\text{'}}& H_{13}^{\text{'}}& \cdots & H_{1q}^{\text{'}}\\ H_{21}^{\text{'}}& H_{22}^{\text{'}}-E_n^{\text{'}}& H_{23}^{\text{'}}& \cdots & H_{2q}^{\text{'}}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ H_{q1}^{\text{'}}& H_{q2}^{\text{'}}& H_{q3}^{\text{'}}& \cdots & H_{qq}^{\text{'}}-E_n^{\text{'}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_{n1}\\ a_{n2}\\ ⋮\\ a_{nq}\end{array}\right)=0......................................................(7)$

เงื่อนไขที่ทำให้ $\left\{a_{ni}\right\}$ไม่เป็นเป็นศูนย์ทั้งหมดพร้อมกัน (trivial solution) คือ ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์มีค่าเท่ากับศูนย์

$det|(H_{pi}^{\text{'}}-E_n^{\text{'}}{\delta }_{pi})|=0.......................................................(8)$

คำตอบของสมาการที่ 8 คือค่าแก้พลังงานอันดับหนึ่ง$(E_{n^{\prime }})$ที่ต่างกันทั้งหมด $q$ ค่า พร้อมทั้งเป็นค่าไอเกนของสมาการที่ 5 และเป็นสมาชิกในแนวทแยงของเมทริกซ์ย่อยในเมทริกซ์ที่ 3 เมื่อแทนค่า$E_n\text{'}$แต่ละค่าลงในสมาการ 7 เราสามารถแก้หาค่า $\left\{a_{ni}\right\}$ได้และนำไปสู่ $\left\{\overline{{\phi }_n}\right\}$โดยสมาการที่ 1

ที่มา