ดูต้นฉบับสำหรับ ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/ค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง

=== ค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง ===
ที่มาของค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง เริ่มจาก <ref>Sakurai, J.J., and Napolitano, J. (1964,2011). ''Modern quantum mechanics'' (2nd ed.), Addison Wesley ISBN 978-0-8053-8291-4 . Chapter 5</ref> แฮมิลโทเนียนเดิมที่ไม่ถูกรบกวน <math>H_0</math>, อนุมานว่าไม่ขึ้นกับเวลา  สามารถหา ค่าพลังงานไอเกน <math>E_n^{(0)}</math> และ สถานะไอเกน <math>|n^{(0)}\rang</math> ได้จาก [[สมการชเรอดิงเงอร์]] ด่อไปนี้

:<math> H_0 \left |n^{(0)} \right \rang = E_n^{(0)} \left |n^{(0)} \right\rang,  \qquad n = 1, 2, 3, \cdots </math>

เพื่อความง่าย พลังงานไอเกนมีค่าไม่ต่อเนื่อง (เกิดจากการถูกจำกัดขอบเขต)   ตัวห้อย <math>0</math> บ่งชี้ความหมายของการไม่ถูกรบกวน  

ให้ <math>V</math> เป็นศักย์รบกวนภายนอก และให้ <math>\lambda</math> เป็นค่าพารามิเตอร์ที่ไม่มีมิติ โดยมีค่าได้ตั้งแต่ <math>0</math> (ไม่มีการรบกวน) ไปจนถึง <math>1</math> (มีการรบกวนเต็มที่) ทำให้สามารถเขียน แฮมิลโทเนียนที่ถูกรบกวน ได้เป็น

:<math> H = H_0 + \lambda V </math>

ดังนั้น สถานะไอเกนจากแฮมิลโทเนียนที่ถูกรบกวน จึงสามารถเขียนได้ดังนี้

:<math> \left(H_0 + \lambda V \right) |n\rang = E_n |n\rang . </math>

แนวคิดหลักคือเราต้องการเขียน พลังงานไอเกนใหม่ <math>E_n</math> และ สถานะไอเกนใหม่ <math>|n\rang</math> ให้อยู่ในรูปของ พลังงานไอเกนเดิม <math>E_n^{(0)}</math> และ สถานะไอเกนเดิม <math>|n^{(0)}\rang</math> ถ้าการรบกวนไม่แรงมากเราสามารถแจกแจงให้อยู่ในรูปของ อนุกรมกำลังของ <math>\lambda</math> ได้ดังนี้

:<math>\begin{align}
E_n &= E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots \\
|n\rang &= \left |n^{(0)} \right \rang + \lambda \left |n^{(1)} \right \rang + \lambda^2 \left |n^{(2)} \right \rang + \cdots 
\end{align}</math>

โดยที่
 
:<math>\begin{align}
E_n^{(k)} &= \frac{1}{k!} \frac{d^k E_n}{d \lambda^k} \\
\left |n^{(k)} \right \rang &= \frac{1}{k!}\frac{d^k |n\rang }{d \lambda^k}
\end{align}</math>

เมื่อ <math>\lambda</math> เข้าสู่ <math>0</math> พลังงานไอเกน และ สถานะไอเกนใหม่ ก็จะเข้าสู่ พลังงานและสถานะเดิม ซึ่งมาจากสมการที่สอดคล้องกับพจน์ที่มี อนุกรมกำลังเป็นศูนย์ 
ทั้งนี้เนื่องจากการรบกวนมีค่าน้อยๆ ค่าพลังงานและ สถานะไอเกน ก็ไม่ควรจะเบี่ยงเบนออกจากค่าเดิมมาก และค่าแก้ไขที่สอดคล้องกับอนุกรมกำลังที่สูง ก็ควรจะมีค่าน้อยลงตามลำดับ ซึ่งขึ้นอยู่กับเลขชี้กำลังของ <math>\lambda</math> เป็นตัวบ่งบอกถึงอันดับของค่าแก้ไขว่าละเอียดมากน้อยเพียงใด

ถ้าเราแทนอนุกรมกำลังของ <math>E_n</math> และ <math>|n\rang</math> ลงไปในสมการชเรอดิงเงอร์ที่ถูกรบกวน เราจะได้

:<math>\left(H_0 + \lambda V \right) \left(\left |n^{(0)} \right \rang + \lambda \left |n^{(1)} \right \rang + \cdots \right) = \left(E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots \right) \left(\left |n^{(0)} \right \rang + \lambda \left |n^{(1)} \right \rang + \cdots \right)</math>

กระจายพจน์ต่างๆ แล้วรวบเอา พจน์ที่มีลำดับอนุกรมเดียวกัน (เลขชี้กำลังของ <math>\lambda</math> เหมือนกัน) ไว้ด้วยกัน แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ จะได้ว่า

พจน์ที่มี <math>\lambda ^{0}</math> คือ

:<math> H_0 \left |n^{(0)} \right \rang = E_n^{(0)} \left |n^{(0)} \right \rang</math> ซึ่งสอดคล้องกับสมการชเรอดิงเงอร์ของแฮมิลโทเนียนเดิมที่ไม่ถูกรบกวน

พจน์ที่มี <math>\lambda ^{1}</math> คือ

:<math> H_0 \left |n^{(1)} \right \rang + V \left |n^{(0)} \right \rang = E_n^{(0)} \left |n^{(1)} \right \rang + E_n^{(1)} \left |n^{(0)} \right \rang </math>

ถ้าวาง <math> \lang n^{(0)} | </math> ลงทางด้านซ้ายทั้งสองข้างของสมการ จะได้ค่าแก้ไขพลังงานอันดับที่หนึ่งคือ

:<math> E_n^{(1)} = \left \langle n^{(0)} \right | V \left |n^{(0)} \right \rang </math>

ซึ่งกล่าวง่ายๆ ได้ว่า พลังงานแก้ไขนี้คือ [[ค่าความคาดหวัง (กลศาสตร์ควอนตัม)|ค่าความคาดหวัง]] (Expectation value) ของแฮมิลโทเนียนที่มารบกวนระบบ ในขณะที่ระบบอยู่ในสถานะที่ไม่ถูกรบกวน   กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ ถ้ามีการรบกวนเกิดขึ้นแต่เรายังติดตามสังเกตสถานะควอนตัมที่เป็นสถานะที่ไม่ถูกรบกวน <math>|n^{(0)}\rang</math> แม้ว่าจะไม่ใช่สถานะไอเกนแล้วก็ตาม เราจะได้ว่า การรบกวนทำให้ค่าเฉลี่ยของพลังงานมีค่าสูงขึ้น <math>\lang n^{(0)}|V|n^{(0)}\rang</math> จากเดิม  อนึ่งค่าพลังงานที่เปลี่ยนไปที่แท้จริงจะต่างจากนี้เล็กน้อย เนื่องจากสถานะไอเกนใหม่ไม่เหมือนกับ <math>|n^{(0)}\rang</math> เสียทีเดียว ค่าที่ต่างออกไปเล็กน้อยนี้สามารถหาได้จากค่าแก้ไขลำดับที่สูงขึ้น

[[หมวดหมู่:ตำรา:ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม|ค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง]]