ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/ค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง

ค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง

ที่มาของค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง เริ่มจาก แฮมิลโทเนียนเดิมที่ไม่ถูกรบกวน $H_0$, อนุมานว่าไม่ขึ้นกับเวลา สามารถหา ค่าพลังงานไอเกน $E_n^{(0)}$ และ สถานะไอเกน $|n^{(0)}⟩$ ได้จาก สมการชเรอดิงเงอร์ ด่อไปนี้

$H_0|n^{(0)}⟩=E_n^{(0)}|n^{(0)}⟩,n=1,2,3,\cdots$

เพื่อความง่าย พลังงานไอเกนมีค่าไม่ต่อเนื่อง (เกิดจากการถูกจำกัดขอบเขต) ตัวห้อย $0$ บ่งชี้ความหมายของการไม่ถูกรบกวน

ให้ $V$ เป็นศักย์รบกวนภายนอก และให้ $\lambda$ เป็นค่าพารามิเตอร์ที่ไม่มีมิติ โดยมีค่าได้ตั้งแต่ $0$ (ไม่มีการรบกวน) ไปจนถึง $1$ (มีการรบกวนเต็มที่) ทำให้สามารถเขียน แฮมิลโทเนียนที่ถูกรบกวน ได้เป็น

$H=H_0+\lambda V$

ดังนั้น สถานะไอเกนจากแฮมิลโทเนียนที่ถูกรบกวน จึงสามารถเขียนได้ดังนี้

$(H_0+\lambda V)|n⟩=E_n|n⟩.$

แนวคิดหลักคือเราต้องการเขียน พลังงานไอเกนใหม่ $E_n$ และ สถานะไอเกนใหม่ $|n⟩$ ให้อยู่ในรูปของ พลังงานไอเกนเดิม $E_n^{(0)}$ และ สถานะไอเกนเดิม $|n^{(0)}⟩$ ถ้าการรบกวนไม่แรงมากเราสามารถแจกแจงให้อยู่ในรูปของ อนุกรมกำลังของ $\lambda$ ได้ดังนี้

$\begin{array}{cc}{E}_n& =E_n^{(0)}+\lambda E_n^{(1)}+{\lambda }^2{E}_n^{(2)}+\cdots \\ |n⟩& =|n^{(0)}⟩+\lambda |n^{(1)}⟩+{\lambda }^2|n^{(2)}⟩+\cdots \end{array}$

โดยที่

$\begin{array}{cc}{E}_n^{(k)}& =\frac{1}{k!}\frac{d^k{E}_n}{d{\lambda }^k}\\ |n^{(k)}⟩& =\frac{1}{k!}\frac{d^k|n⟩}{d{\lambda }^k}\end{array}$

เมื่อ $\lambda$ เข้าสู่ $0$ พลังงานไอเกน และ สถานะไอเกนใหม่ ก็จะเข้าสู่ พลังงานและสถานะเดิม ซึ่งมาจากสมการที่สอดคล้องกับพจน์ที่มี อนุกรมกำลังเป็นศูนย์ ทั้งนี้เนื่องจากการรบกวนมีค่าน้อยๆ ค่าพลังงานและ สถานะไอเกน ก็ไม่ควรจะเบี่ยงเบนออกจากค่าเดิมมาก และค่าแก้ไขที่สอดคล้องกับอนุกรมกำลังที่สูง ก็ควรจะมีค่าน้อยลงตามลำดับ ซึ่งขึ้นอยู่กับเลขชี้กำลังของ $\lambda$ เป็นตัวบ่งบอกถึงอันดับของค่าแก้ไขว่าละเอียดมากน้อยเพียงใด

ถ้าเราแทนอนุกรมกำลังของ $E_n$ และ $|n⟩$ ลงไปในสมการชเรอดิงเงอร์ที่ถูกรบกวน เราจะได้

$(H_0+\lambda V)(|n^{(0)}⟩+\lambda |n^{(1)}⟩+\cdots )=(E_n^{(0)}+\lambda E_n^{(1)}+{\lambda }^2{E}_n^{(2)}+\cdots )(|n^{(0)}⟩+\lambda |n^{(1)}⟩+\cdots )$

กระจายพจน์ต่างๆ แล้วรวบเอา พจน์ที่มีลำดับอนุกรมเดียวกัน (เลขชี้กำลังของ $\lambda$ เหมือนกัน) ไว้ด้วยกัน แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ จะได้ว่า

พจน์ที่มี ${\lambda }^0$ คือ

$H_0|n^{(0)}⟩=E_n^{(0)}|n^{(0)}⟩$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการชเรอดิงเงอร์ของแฮมิลโทเนียนเดิมที่ไม่ถูกรบกวน

พจน์ที่มี ${\lambda }^1$ คือ

$H_0|n^{(1)}⟩+V|n^{(0)}⟩=E_n^{(0)}|n^{(1)}⟩+E_n^{(1)}|n^{(0)}⟩$

ถ้าวาง $⟨n^{(0)}|$ ลงทางด้านซ้ายทั้งสองข้างของสมการ จะได้ค่าแก้ไขพลังงานอันดับที่หนึ่งคือ

$E_n^{(1)}=⟨n^{(0)}|V|n^{(0)}⟩$

ซึ่งกล่าวง่ายๆ ได้ว่า พลังงานแก้ไขนี้คือ ค่าความคาดหวัง (Expectation value) ของแฮมิลโทเนียนที่มารบกวนระบบ ในขณะที่ระบบอยู่ในสถานะที่ไม่ถูกรบกวน กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ ถ้ามีการรบกวนเกิดขึ้นแต่เรายังติดตามสังเกตสถานะควอนตัมที่เป็นสถานะที่ไม่ถูกรบกวน $|n^{(0)}⟩$ แม้ว่าจะไม่ใช่สถานะไอเกนแล้วก็ตาม เราจะได้ว่า การรบกวนทำให้ค่าเฉลี่ยของพลังงานมีค่าสูงขึ้น $⟨n^{(0)}|V|n^{(0)}⟩$ จากเดิม อนึ่งค่าพลังงานที่เปลี่ยนไปที่แท้จริงจะต่างจากนี้เล็กน้อย เนื่องจากสถานะไอเกนใหม่ไม่เหมือนกับ $|n^{(0)}⟩$ เสียทีเดียว ค่าที่ต่างออกไปเล็กน้อยนี้สามารถหาได้จากค่าแก้ไขลำดับที่สูงขึ้น