ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/Hyperfine Structure

โครงสร้างสุดละเอียด (Hyperfine Structure)

โครงสร้างสุดละเอียดคือการที่เกิดการเลื่อนไปเล็กน้อยของระดับชั้นพลังงานของอะตอมเนื่องจาก อัตรกิริยาระหว่างนิวเคลียส กับ ออเล็กตรอน ทำให้เกิดโครงสร้างแบบละเอียดขึ้น เนื่องจากเกิดไดโพลแม่เหล็กของโปรตรอน

ในโครงสร้างสุดละเอียดเราจะพิจารณาสปินโปรตอน $S_p$ เช่นเดียวกับของอิเล็กตรอน โดยจะเกิดไดโพลแม่เหล็กของโปรตอนขึ้น แต่จะมีค่าน้อยกว่าของอิเล็กตรอนเนื่องจากมวลที่มีค่ามากกว่า ตามสมการ

$\overrightarrow{{\mu }_p}=\frac{g_{p}e}{2m_p}\overrightarrow{S_p}$ โดยที่ $g_p$ เป็นค่า g-factor ของโปรตอนซึ่งประมาณ $5.59$

$\overrightarrow{{\mu }_e}=-\frac{g_{e}e}{m_e}\overrightarrow{S_e}=-\frac{e}{m_e}\overrightarrow{S_e}$

ซึ่งไดโพลนั้นก็จะสร้างสนามแม่เหล็กซึ่งมีค่า

$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}[3(\overrightarrow{\mu }\cdot \hat{r})\hat{r}-\overrightarrow{\mu }]+\frac{2{\mu }_0}{3}\overrightarrow{\mu }{\delta }^3\hat{r}$

และสนามแม่เหล็กดังกล่าวที่เกิดจากไดโพลของโปรตอนก็จะไปรบกวนไดโพลของอิเล็กตรอน ตามสมการ

$H=-\overrightarrow{\mu }\cdot \overrightarrow{B}$

ทำให้ได้ฮามิลโตเนียนของอิเล็กตรอนที่ถูกรบกวนเป็น

$H_{hf}=\frac{{\mu }_0{g}_p{e}^2}{8\pi m_p{m}_e}\frac{[3(\overrightarrow{S_p}\cdot \hat{r})(\overrightarrow{S_e}\cdot \hat{r})-\overrightarrow{S_p}\cdot \overrightarrow{S_e}]}{r^3}+\frac{{\mu }_0{g}_p{e}^2}{3m_p{m}_e}\overrightarrow{S_p}\cdot \overrightarrow{S_e}{\delta }^3(\hat{r})$

จากทฤษฏีการรบกวน ค่าการแก้ไขของพลังงานอันดับที่ 1 คือค่าเฉลี่ยของฮามิลโตเนียนที่รบกวน

$E_n^{(1)}=⟨n^{(0)}|V|n^{(0)}⟩$

ได้ว่า

$E_{hf}=\frac{{\mu }_0{g}_p{e}^2}{8\pi m_p{m}_e}⟨\frac{3(\overrightarrow{S_p}\cdot \hat{r})(\overrightarrow{S_e}\cdot \hat{r})-\overrightarrow{S_p}\cdot \overrightarrow{S_e}}{r^3}⟩+\frac{{\mu }_0{g}_p{e}^2}{3m_p{m}_e}⟨\overrightarrow{S_p}\cdot \overrightarrow{S_e}⟩{|\psi (0)|}^2$

ในสถานะที่ โมเมนต์แม่เหล็กของอะตอมมีค่าเป็น 0 (l=0) ฟังก์ชันคลื่นจะมีลักษณะสมมาตรแบบทรงกลม จะทำให้เทอมแรกมีค่าเป็นศูนย์ และเมื่อพิจารณาสถานะที่พลังงานต่ำสุดหรือสถานะพื้น (Ground state) มีฟังก์ชันคลื่นคือ

${\psi }_{100}=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}{e}^{-r/a}$

ได้ว่า

${|{\psi }_{100}(0)|}^2=\frac{1}{\pi a^3}$

จะได้ว่าค่าแก้ไขอันดับที่หนึ่งของการถูกรบกวนจากการถูกรบกวน

$E_{hf}=\frac{{\mu }_0{g}_p{e}^2}{3\pi m_p{m}_e{a}^3}⟨\overrightarrow{S_p}\cdot \overrightarrow{S_e}⟩$

พิจารณาสปินรวม $\overrightarrow{S}=\overrightarrow{S_p}+\overrightarrow{S_e}$ จะได้

$S^2=S_p^2+S_e^2+2\overrightarrow{S_p}\cdot \overrightarrow{S_e}$

จะได้

$\overrightarrow{S_p}\cdot \overrightarrow{S_e}=\frac{1}{2}(S^2-S_p^2-S_e^2)$

ดังนั้น

$E_{hf}=\frac{{\mu }_0{g}_p{e}^2}{3\pi m_p{m}_e{a}^3}\frac{1}{2}(s(s+1)-s_p(s_p+1)-s_e(s_e+1)){\hslash }^2$

เนื่องจากสปินของทั้งโปรตอนและอิเล็กตรอนมีค่าเป็น $\frac{1}{2}$ จะได้

$E_{hf}=\frac{{\mu }_0{g}_p{e}^2{\hslash }^2}{3\pi m_p{m}_e{a}^3}\frac{1}{2}(s(s+1)-\frac{3}{2})$

และแยกออกของระดับพลังงานจะแบ่งเป็น 2 สถานะคือ triplet state ซึ่งมีค่าสปินรวมเป็น 1 และ singlet state ซึ่งมีค่าสปินรวมเป็น 0 จะได้ว่า

$E_{hf}=\frac{{\mu }_0{g}_p{e}^2{\hslash }^2}{3\pi m_p{m}_e{a}^3}\{\begin{array}{cc}+\frac{1}{4}& (\text{triplet})\\ -\frac{3}{4}& (\text{singlet})\end{array}$

ดังนั้น ผลต่างของระดับพลังงานทั้งสองคือ

$\mathrm{\Delta }E=\frac{{\mu }_0{g}_p{e}^2{\hslash }^2}{3\pi m_p{m}_e{a}^3}=9.42\times 10^{-25}J$

ซึ่งความถี่ของโฟตอนที่ปลดปล่อยออกมาขณะเปลี่ยนระดับชั้นจาก triplet ไปยัง singlet state คือ

$f=\frac{\mathrm{\Delta }E}{h}=1.42\times 10^{9}Hz$

และคิดเป็นความยาวคลื่น

$\lambda =\frac{c}{f}=21.1cm$

โดยความยาวคลื่นดังกล่าวอยู่ในช่วงของคลื่นไมโครเวฟ โดยเรียกว่า 21 centimeter line

การประยุกต์ใช้งาน

Astrophysics

เนื่องการเปลี่ยนของอิเล็กตรอนไฮเจนในสถานะโครงสร้างสุดละเอียด จะให้โฟตอนในช่วงความยาวคลื่น 21 cm ซึ่งสามารถนำไปสู่การสร้าง แผนที่ไฮโดรเจนในอวกาศได้ ต่อมา Carl Sagan และ Frank Drake ได้นำ การเปลี่ยนในสถาะสุดละเอียด ไปใช้ในการเข้ารหัสของ Pioneer plaque และ Voyager Golden Record ซึ่งสามารถจะติดต่อกับมนุษย์ต่างดาวได้ เพราะเป็นปรากฏการณ์ธรรมชาติของจักรวาล