ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/ปรากฏการณ์สตาร์ค

ประวัติ

ปรากฏการณ์สตาร์คคือปรากฏการ์ที่สเปกตรัมของอะตอมหรือโมเลกุลเกิดการเลื่อน หรือแยกออก เนื่องจากการรบกวนของสนามไฟฟ้า โดยปรากฏการ์ณนี้ตั้งชื่อตาม Johannes Stark การค้นพบนี้มีส่วนสำคัญอย่างมากในการสร้างทฤษฏีควอนตัม

ปรากฏการณ์สตาร์คมีลักษณะเดียวกับปรากฏการณ์ซีมาน เพียงแต่ปรากฏการณ์นี้ไม่เกี่ยวข้องกับโมเมนตัมเชิงมุมและสปิน แต่เกี่ยวข้องกับไดโพลไฟฟ้าของอะตอม (Electric dipole moment)

ไฟฟ้าสถิตแบบดั้งเดิม

ปรากฏการณ์สตาร์คคือปรากฏการ์ที่สเปกตรัมของอะตอมหรือโมเลกุลเกิดการเลื่อน หรือแยกออก เนื่องจากการรบกวนของสนามไฟฟ้าภายนอก โดยก่อนจะเข้าสู่กลศาสตร์ควอนตัมเราได้อธิบายอันตรกิริยาแบบดังเดิม โดยให้ประจุมีการกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอ ρ(r). ถ้าประจุไม่มีการโพลาไรซ์พลังงานที่กระทำจะขึ้นกับสนามไฟฟ้าภายนอก V(r) คือ

$E_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}=\int \rho (𝐫)V(𝐫)d{𝐫}^3$.

สมมติว่าประจุที่กระจายอยู่นั้นอยู่ในสนามไฟฟ้าที่คงที่ นั่นคือจะสามารถหา V ได้จากการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์อันดับที่สอง

$V(𝐫)=V(\mathrm{𝟎})-\sum _{i=1}^3{r}_i{F}_i$, กับสนามไฟฟ้า : $F_i\equiv -{\left(\frac{\partial V}{\partial r_i}\right)|}_{\mathrm{𝟎}}$,

ทีุ่จดกำเนิด 0 สักที่ใน ρ. เราจะให้ V(0) เป็นพลังงานที่ศูนย์จะได้ว่า

$E_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}=-\sum _{i=1}^3{F}_i\int \rho (𝐫)r_{i}d𝐫\equiv -\sum _{i=1}^3{F}_i{\mu }_i=-𝐅\cdot \mathit{\mu }$.

เราจะนำไดโพลโมเมนต์ μ ของ ρ มาอินทิเกรตบนการกระจายของประจุ ในกรณีที ρ ประกอบด้วย N จุดประจุ q_j จะสามารเขียนในรูปของผลรวม

$\mathit{\mu }\equiv \sum _{j=1}^N{q}_j{𝐫}_j$.

ทฤษฎีการรบกวน

อันตรกิริยาของอะตอมหรือโมเลกุลกับสนามภายนอกที่สม่ำเสมอสามารถอธิบายได้ตามตัวดำเนินการดังกล่าวคือ

$V_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}=-𝐅\cdot \mathit{\mu }.$

อันดับที่หนึ่ง

ให้อะตอมหรือโมเลกุลยังไม่ถูกรบกวน โดยอยู่ในอันดับที่ศูนย์ และมีฟังก์ชันสถานะดังนี้ คือ ${\psi }_1^0,\dots ,{\psi }_g^0$ จากทฤษฎีการรบกวนจะได้ว่า พลังงานอันดับที่หนึ่ง คือค่าลักษณะเฉพาะของ g x g เมทริกซ์ จะได้ว่า

$({𝐕}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}{)}_{kl}=⟨{\psi }_k^0|V_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}|{\psi }_l^0⟩=-𝐅\cdot ⟨{\psi }_k^0|\mathit{\mu }|{\psi }_l^0⟩,k,l=1,\dots ,g.$

ถ้า g = 1 พลังงานอันดับที่หนึ่ง จะขึ้นอยู่กับค่าคาดหวัง (ค่าเฉลี่ย) ของตัวดำเนินการไดโพล $\mathit{\mu }$,

$E^{(1)}=-𝐅\cdot ⟨{\psi }_1^0|\mathit{\mu }|{\psi }_1^0⟩=-𝐅\cdot ⟨\mathit{\mu }⟩.$

อันดับที่สอง

ณ ที่สถานะรูปแบบกำลังสองของปรากฏการณ์สตาร์กสามารถอธิบายโดยทฤษฎีการรบกวน ปัญหาอันดับที่ศูนย์

$H^{(0)}{\psi }_k^0=E_k^{(0)}{\psi }_k^0,k=0,1,\dots ,E_0^{(0)}<E_1^{(0)}\le E_2^{(0)},\dots$

สมมติว่าแก้ได้ โดยสมมติให้อันดับที่ศูนย์เป็นสถานะ non-degenerate ถ้าให้สถานะที่ศูนย์เป็นสถานะ non-degenerate ภายใตการพิจารณา (อะตอมที่คล้ายไฮโดรเจน : n = 1) ทฤษฎีการรบกวนจะได้ว่า

$E^{(2)}=\sum _{k>0}\frac{⟨{\psi }_0^0|V_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}|{\psi }_k^0⟩⟨{\psi }_k^0|V_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}|{\psi }_0^0⟩}{E_0^{(0)}-E_k^{(0)}}=-\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^3{F}_i{\alpha }_{ij}{F}_j$

และองค์ประกอบของ ความเป็นโพราไลซ์ เทนเซอร์ α นิยามได้ว่า

${\alpha }_{ij}\equiv -2\sum _{k>0}\frac{⟨{\psi }_0^0|{\mu }_i|{\psi }_k^0⟩⟨{\psi }_k^0|{\mu }_j|{\psi }_0^0⟩}{E_0^{(0)}-E_k^{(0)}}.$

พลังงาน E⁽²⁾ ให้สมการกำลังที่สองของ Stark effect. เพราะว่าในสมมาตรของทรงกลมของความเป็นโพราไลซ์ เทนเซอร์ของอะตอมจะเป็นแบบ ไอโซโทรปิค

${\alpha }_{ij}={\alpha }_0{\delta }_{ij}⟹E^{(2)}=-\frac{1}{2}{\alpha }_0{F}^2,$