ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/ปรากฏการณ์ซีมาน

ไฟล์:ZeemanEffect.GIF

ผลการทดลองที่ซีมานค้นพบ จากการให้สนามแม่เหล็กกำลังสูงแก่แหล่งกำเนิดแสง

ปรากฏการณ์ซีมานเป็นปรากฏการณ์ที่ถูกค้นพบโดย ปีเตอร์ ซีมาน ชาวเนเธอร์แลนด์ เมื่อปี ค.ศ. ๑๘๙๖ พบว่าเมื่อให้สนามแม่เหล็กอย่างอ่อนๆแก่แหล่งกำเนิดแสง สเปกตรัมของแสงจะถูกแยกออกจากกัน ในปีเดียวกัน เฮนดริก ลอเลนซ์ ได้ใช้ผลจากปรากฏการณ์นี้ทำนายการมีอยู่ของอนุภาคซึ่งทำให้แสงมีขั้ว อนุภาคนั้นมีมวลน้อยกว่าไฮโดรเจนพันเท่า และมีประจุเป็นลบ ก่อนที่ เจ เจ ทอมป์สัน จะค้นพบอิเล็กตรอน ผลจากงานวิจัยนี้ทำให้ ซีมาน ได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ในปี ค.ศ. ๑๙๐๒ ร่วมกับ เฮนดริก ลอเลนซ์

ปรากฏการณ์ซีมานปรกติ (Normal Zeeman Effect)

ปรากฏการณ์ซีมานปรกติคิดผลอันเนื่องมาจากอันตรกิริยาระหว่าง ไดโพลโมเมนต์แม่เหล็กของแหล่งกำเนิดแสง กับ สนามแม่เหล็กภายนอก ในกรณีที่ค่าสปินรวมของอิเล็กตรอนเท่ากับ 0

ฮามิลโทเนียนรบกวนสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลคูณภายในระหว่าง ไดโพลโมเมนต์แม่เหล็ก กับ สนามแม่เหล็กภายนอก ${\overrightarrow{B}}_{ext}$ซึ่งมีทิศชี้ไปแกน $z$ ดังนี้

$H_Z=-\overrightarrow{{\mu }_e}\cdot {\overrightarrow{B}}_{ext}=\frac{e}{2m_e}\overrightarrow{L}\cdot B\hat{z}=\frac{eB}{2m_e}{L}_z=\frac{{\mu }_e}{\hslash }B{L}_z$

โดยที่ ${\mu }_e=e\hslash /2m_e$ คือบอห์รแมกนีตอน, $L_z$ คือ เงาของโมเมนตัมเชิงมุม $\overrightarrow{L}$ บนแกน $z$

ในอะตอมไฮโดรเจน ฮามิลโทเนียนที่ไม่ถูกรบกวน คือ

$H_0=\frac{{\hat{p}}^2}{2m_e}-\frac{k{e}^2}{r}$

ปรากฏการณ์ซีมานไม่ปรกติ

ปรากฏการณ์ซีมานปรกติคิดผลอันเนื่องมาจากอันตรกิริยาระหว่าง ไดโพลโมเมนต์แม่เหล็ก กับ สนามแม่เหล็กภายนอกซึ่งมีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับสนามแม่เหล็กภายในอะตอม ในกรณีที่ค่าสปินรวม (S) ของอิเล็กตรอนมีค่าไม่เท่ากับศูนย์ ทำให้เส้นสเปกตรัมในสนามแม่เหล็กมีความซับซ้อนขึ้น

เนื่องจากมีการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนทำให้เกิดสนามแม่เหล็ก จึงสามารถหาโมเมนต์ขั้วคู่แม่เหล็ก (Magnetic dipole moment) $\overrightarrow{{\mu }_l}$ จากผลดังกล่าวได้จาก

$\overrightarrow{{\mu }_l}=\frac{q}{2m}\overrightarrow{L}=-\frac{e}{2m}\overrightarrow{L}$ โดยที่ $\overrightarrow{L}$ คือ Orbital angular momentum

เรื่องสปินรวมของเล็กตรอนไม่เป็นศูนย์ โมเมนต์ขั้วคู่แม่เหล็กจึงคิดผลจากสปินด้วย ซึ่งค่าที่ได้จะมีค่า g-factor ซึ่งในกรณีของอิเล็กตรอน $g=2$ คูณอยู่ จะได้

$\overrightarrow{{\mu }_s}=-\frac{e}{m}\overrightarrow{S}$ โดยที่ $\overrightarrow{S}$ คือโมเมนตัมเชิงมุมสปิน (Spin angular momentum)

ซึ่งจะได้พลังงานรวมสนามแม่เหล็กเป็นแฮมิลโทเนียนจากสมการ

$H_z=-(\overrightarrow{{\mu }_l}+\overrightarrow{{\mu }_s})\cdot \overrightarrow{B}=\frac{e}{2m}(\overrightarrow{L}+2\overrightarrow{S})\cdot \overrightarrow{B}$

เมื่อสนามแม่เหล็กภายนอก $\overrightarrow{B}$ ในที่นี้มีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับสนามไฟฟ้าภายในที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของประจุ จะได้ว่า $H_z$ เป็นตัวรบกวน (Perturbation) โดยจากความสัมพันธ์ของโมเมนตัมเชิงมุมรวม $\overrightarrow{J}$ คือ

$\overrightarrow{J}=\overrightarrow{L}+\overrightarrow{S}$ จะได้ $\overrightarrow{L}=\overrightarrow{J}-\overrightarrow{S}$ แทนลงไปใน $H_z$ จะได้

$H_z=\frac{e}{2m}(\overrightarrow{J}+{\overrightarrow{S}}_{avg})\cdot \overrightarrow{B}$

ซึ่งเราจะใช้ $\overrightarrow{S}={\overrightarrow{S}}_{avg}$ เนื่องจาก $\overrightarrow{S}$ ไม่ได้มีค่าคงที่ แต่มีการหมุนควงรอบ $\overrightarrow{J}$ เราจึงสามารถแยกออกเป็นสององค์ประกอบคือ ในแนวขนานกับ $\overrightarrow{J}$ ซึ่งมีขนาดเป็น $S_{\parallel }$ และในแนวตั้งฉากกับ $\overrightarrow{J}$ ซึ่งมีขนาดเป็น $S_{\perp }$ โดยเมื่อ $\overrightarrow{S}$ หมุนควงรอบ $\overrightarrow{J}$ ดังนั้นค่าเฉลี่ยของ $S_{\perp }$ ในแนวตั้งฉากมีค่าเป็นศูนย์ จึงได้ว่าค่าเฉลี่ย ${\overrightarrow{S}}_{avg}$ จะมีขนาดเท่ากับ $S_{\parallel }$ และมีทิศทางชี้ไปทางเดียวกับ $\overrightarrow{J}$ จะได้

${\overrightarrow{S}}_{avg}=S_{\parallel }\frac{\overrightarrow{J}}{J}=S\cos \theta \frac{\overrightarrow{J}}{J}$ โดยที่ $\theta$ เป็นมุมระหว่าง $\overrightarrow{S}$ กับ $\overrightarrow{J}$ ซึ่งจะได้ว่า

${\overrightarrow{S}}_{avg}=S\frac{(\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{J})}{SJ}\frac{\overrightarrow{J}}{J}=\frac{(\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{J})}{J^2}\overrightarrow{J}$ จะได้

$H_z=\frac{e}{2m}(\overrightarrow{J}+\frac{(\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{J})}{J^2}\overrightarrow{J})\cdot \overrightarrow{B}=\frac{e}{2m}(1+\frac{\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{J}}{J^2})\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{B}$

เมื่อกำหนดให้สนามแม่เหล็กภายนอก $\overrightarrow{B}$ มีขนาดเป็น $B_0$ และมีทิศทางไปทางแกน $z$ จะได้ว่า

$H_z=\frac{e{B}_0}{2m}(1+\frac{\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{J}}{J^2})J_z$

พิจารณาตัวดำเนินการ $\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{J}$ จากโมเมนตัมเชิงมุมรวม $\overrightarrow{J}=\overrightarrow{L}+\overrightarrow{S}$ หรือ $\overrightarrow{L}=\overrightarrow{J}-\overrightarrow{S}$ จะได้

$L^2=J^2+S^2-2\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{J}$

ดังนั้น จะได้ว่า

$\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{J}=\frac{1}{2}(J^2+S^2-L^2)$ นั่นคือ

$H_z=\frac{e{B}_0}{2m}(1+\frac{J^2+S^2-L^2}{2J^2})J_z$

ทำการหาพลังงานได้จากแฮมิลโทเนียนได้โดยเลือกใช้ฐานคือ $|n,l,j,m_j⟩$ เนื่องจากผลของสนามแม่เหล็กที่มีค่าน้อยกว่าสนามแม่เหล็กภายใน ทำให้โมเมนตัมเชิงมุมรวม $\overrightarrow{J}$ ประมาณได้ว่าคงที่ จะได้ว่า

$⟨n,l,j,m_j\left|H_z^{(1)}\right|n,l,j,m_j⟩=\frac{e{B}_0}{2m}⟨n,l,j,m_j\left|(1+\frac{J^2+S^2-L^2}{2J^2})J_z\right|n,l,j,m_j⟩$

เนื่องจากผลของตัวดำเนินการเมื่อไปกระทำ คือ

$J^2|n,l,j,m_j⟩=j(j+1){\hslash }^2|n,l,j,m_j⟩$

$S^2|n,l,j,m_j⟩=s(s+1){\hslash }^2|n,l,j,m_j⟩$

$L^2|n,l,j,m_j⟩=l(l+1){\hslash }^2|n,l,j,m_j⟩$

$J_z|n,l,j,m_j⟩=m_j\hslash |n,l,j,m_j⟩$

จะได้

$⟨n,l,j,m_j\left|H_z^{(1)}\right|n,l,j,m_j⟩=\frac{e{B}_0}{2m}(1+\frac{j(j+1)+s(s+1)-l(l+1)}{2j(j+1)})m_j\hslash$

สำหรับในกรณีของอิเล็กตรอนเลขควอนตัมสปิน $s=\frac{1}{2}$ เสมอ จะได้ว่า

$⟨n,l,j,m_j\left|H_z^{(1)}\right|n,l,j,m_j⟩=\frac{e{B}_0}{2m}(1+\frac{j(j+1)-l(l+1)+\frac{3}{4}}{2j(j+1)})m_j\hslash$

ซึ่งสังเกตว่าค่าของ $⟨n,l,j,m_j\left|H_z^{(1)}\right|n,l,j,m_j⟩$ จะมีค่าไม่เป็นศูนย์ในกรณีที่เลขควอนตัมในฐานทั้งสองด้านมีค่าเท่ากันทุกตัวเท่านั้น จึงทำให้การใช้ฐาน $|n,l,j,m_j⟩$ ได้คำตอบอยู่ในรูปของ เมทริกซ์ทแยง (Diagonal matrix) นั่นคือจะทำให้สมาชิกในตำแหน่งนอกแนวทแยงที่เลขควอนตัมบางตัวไม่เท่ากันมีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมด ซึ่งทำให้ง่ายต่อการหาค่าไอเกนหรือพลังงานในแต่ละสถานะได้ทันทีจากสมาชิกในแนวทแยง จึงได้ว่า

$E_z^{(1)}=\frac{e{B}_0}{2m}(1+\frac{j(j+1)-l(l+1)+\frac{3}{4}}{2j(j+1)})m_j\hslash ={\mu }_B{g}_j{m}_j{B}_0$

โดยที่ ${\mu }_B=\frac{e\hslash }{2m}$ เป็นค่าคงที่เรียกว่า Bohr magneton ส่วน $g_j=1+\frac{j(j+1)-l(l+1)+\frac{3}{4}}{2j(j+1)}$ เรียกว่า Landé g-factors

ตัวอย่าง:การเปลี่ยนในอนุกรมไลมาณ-อัลฟ่า ของไฮโดรเจน (Lyman alpha transition in hydrogen)

ในกรณีนี้ เรื่องจากไฮโดรเจนมีอิเล็กตรอนเพียงตัวเดียว ค่าสปินรวม จึงไม่เท่ากับศูนย์ จึงเกิดปรากฏการณ์ซีมานแบบไม่ปรกติ โดยอิเล็กตรอนเปลี่ยนจาก

$2P_{1/2}\to 1S_{1/2}$ และ $2P_{3/2}\to 1S_{1/2}.$

เมื่อมีสนามแม่เหล็กอย่างอ่อนจากภายนอกเข้าไปกระทำ จะทำให้แยกระดับชั้นพลังงาน 1S_1/2 และ 2P_1/2 ไปยังสองระดับพลังงาน ที่มี ($m_j=1/2,-1/2$)และ 2P_3/2 ไปยังสี่สถานะคือ ($m_j=3/2,1/2,-1/2,-3/2$). โดยมี Landé g-factors สำหรับสามสถานะคือ

$g_J=2$ สำหรับ $1S_{1/2}$ (j=1/2, l=0)

$g_J=2/3$ สำหรับ $2P_{1/2}$ (j=1/2, l=1)

$g_J=4/3$ สำหรับ $2P_{3/2}$ (j=3/2, l=1).

สำหรับภาพประกอบสามารถชมได้ที่ https://en.wikipedia.org/wiki/Zeeman_effect#mediaviewer/File:Zeeman_p_s_doublet.svg