ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/ค่าการแก้ไขอันดับที่สอง

ค่าการแก้ไขอันดับที่สอง

ที่มาของค่าการแก้ไขอันดับที่สอง เริ่มจากการแทนอนุกรมกำลังของ $E_n$ และ $|n⟩$ ลงไปในสมการชเรอดิงเงอร์ที่ถูกรบกวน เช่นเดียวกับกรณีของค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง นั่นคือ

$(H_0+\lambda V)(|n^{(0)}⟩+\lambda |n^{(1)}⟩+\cdots )=(E_n^{(0)}+\lambda E_n^{(1)}+{\lambda }^2{E}_n^{(2)}+\cdots )(|n^{(0)}⟩+\lambda |n^{(1)}⟩+\cdots )$

กระจายพจน์ต่างๆแล้วรวบเอาพจน์ที่มีลำดับอนุกรมเดียวกันไว้ด้วยกัน (กำลังของ λ) พจน์ที่มี ${\lambda }^2$ คือ

$H_0|n^{(2)}⟩+H_1|n^{(2)}⟩=E_n^{(0)}|n^{(2)}⟩+E_n^{(1)}|n^{(1)}⟩+E^{(2)}|n^{(0)}⟩$

จากนั้นใส่ผลคูณภายในของสมการนี้ด้วย  :$⟨n^{(0)}|$ จะได้ว่า

$⟨n^{(0)}|H_0|n^{(2)}⟩+⟨n^{(0)}|H_1|n^{(1)}⟩=⟨n^{(0)}|E_n^{(0)}|n^{(2)}⟩+⟨n^{(0)}|E_n^{(1)}|n^{(1)}⟩+⟨n^{(0)}|E_n^{(2)}|n^{(0)}⟩$

เมื่อตัวดำเนินการ $H_0$ ไปกระทำกับสถานะ แล้วทำการดึงค่าคงที่ออกมา จะได้

$E_n^{(0)}⟨n^{(0)}|n^{(2)}⟩+⟨n^{(0)}|H_1|n^{(1)}⟩=E_n^{(0)}⟨n^{(0)}|n^{(2)}⟩+⟨n^{(0)}|E_n^{(1)}|n^{(1)}⟩+E_n^{(2)}⟨n^{(0)}|n^{(0)}⟩$

จากสมบัติเชิงตั้งฉาก (Orthogonality) จะได้ว่า

$E_n^{(2)}=⟨n^{(0)}|H_1|n^{(1)}⟩-E^{(1)}⟨n^{(0)}|n^{(1)}⟩$

แต่เนื่องจากว่า :$⟨n^{(0)}|n^{(1)}⟩=\sum _{m=n}⟨n^{(0)}|m^{(0)}⟩⟨m^{(0)}|n^{(1)}⟩=0$ จะได้

$E_n^{(2)}=⟨n^{(0)}|H_1|n^{(1)}⟩$

จากสถานะแก้ไขอันดับที่หนึ่ง  :$|n^{(1)}⟩=\sum _{m=n}|m^{(0)}⟩\frac{⟨m^{(0)}|H_1|n^{(0)}⟩}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}$ นำไปแทนในสมการข้างบนดังนั้นจะได้ว่า

$E_n^{(2)}=\sum _{m=n}⟨n^{(0)}|H_1|m^{(0)}⟩\frac{⟨m^{(0)}|H_1|n^{(0)}⟩}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}$

จัดรูป จะได้ค่าการแก้ไขอันดับที่สองคือ

$E_n^{(2)}=\sum _{m=n}\frac{|⟨n^{(0)}|H_1|m^{(0)}⟩{|}^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}$