ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/สถานะแก้ไขอันดับที่หนึ่ง

สถานะแก้ไขอันดับที่หนึ่ง

ที่มาของสถานะแก้ไขอันดับที่หนึ่ง เริ่มจากสถานะที่ไม่ถูกรบกวน เนื่องจากสถานะที่ไม่ถูกรบกวนนั้นเป็นไอเกนเวกเตอร์ ดังนั้นสถานะแก้ไขอันดับที่หนึ่งสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของสถานะที่ไม่ถูกรบกวน

$|n^{(1)}⟩=\sum _{m=n}|m^{(0)}⟩⟨m^{(0)}|n^{(1)}⟩$

จากสมการของ ค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง สำหรับพจน์ที่มี ${\lambda }^1$ คือ

$H_0|n^{(1)}⟩+V|n^{(0)}⟩=E_n^{(0)}|n^{(1)}⟩+E_n^{(1)}|n^{(0)}⟩$

ซึ่งจัดรูปสมการได้เป็นดังนี้

$(H_0-E_n^{(0)})|n^{(1)}⟩=-(V-E_n^{(1)})|n^{(0)}⟩$

เมื่อนำ $|n^{(1)}⟩$ ซึ่งเขียนในรูปผลรวมเชิงเส้นของสถานะที่ไม่ถูกรบกวน แทนลงไปจะได้ว่า

$(H_0-E_n^{(0)})\sum _{m=n}|m^{(0)}⟩⟨m^{(0)}|n^{(1)}⟩=-(V-E_n^{(1)})|n^{(0)}⟩$

จากนั้น ตัวดำเนินการ $H_0$ กระทำกับสถานะ $|m^{(0)}⟩$ ใดๆ จะได้

$(E_m^{(0)}-E_n^{(0)})\sum _{m=n}|m^{(0)}⟩⟨m^{(0)}|n^{(1)}⟩=-(V-E_n^{(1)})|n^{(0)}⟩$

และนำ $⟨l^{(0)}|$ มาทำผลคูณภายในกับทั้งสมการได้เป็น

$\sum _{m=n}(E_m^{(0)}-E_n^{(0)})⟨l^{(0)}|m^{(0)}⟩⟨m^{(0)}|n^{(1)}⟩=-⟨l^{(0)}|V|n^{(0)}⟩+E_n^{(1)}⟨l^{(0)}|n^{(0)}⟩$

เมื่อ $l=m$ ผลคูณภายในของสถานะต่างๆ จะมีค่าเป็น 0 ยกเว้น $l=m$ ตามสมบัติเชิงตั้งฉาก (Orthogonality) จะได้

$(E_m^{(0)}-E_n^{(0)})⟨m^{(0)}|m^{(0)}⟩⟨m^{(0)}|n^{(1)}⟩=-⟨m^{(0)}|V|n^{(0)}⟩+E_n^{(1)}⟨m^{(0)}|n^{(0)}⟩$

ซึ่งจากสมบัติเชิงตั้งฉาก จะได้ว่า

$(E_m^{(0)}-E_n^{(0)})⟨m^{(0)}|n^{(1)}⟩=-⟨m^{(0)}|V|n^{(0)}⟩$

ซึ่งสามารถจัดรูปได้เป็น

$⟨m^{(0)}|n^{(1)}⟩=\frac{⟨m^{(0)}|V|n^{(0)}⟩}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}$

สุดท้ายนำ $⟨m^{(0)}|n^{(1)}⟩$ ไปแทนในสมการผลรวมเชิงเส้นของของสถานะที่ไม่ถูกรบกวน จะได้สถานะแก้ไขอันดับที่หนึ่ง คือ

$|n^{(1)}⟩=\sum _{m=n}|m^{(0)}⟩\frac{⟨m^{(0)}|V|n^{(0)}⟩}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}$