ดูต้นฉบับสำหรับ ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/ค่าการแก้ไขอันดับที่สอง

=== ค่าการแก้ไขอันดับที่สอง ===

ที่มาของค่าการแก้ไขอันดับที่สอง เริ่มจากการแทนอนุกรมกำลังของ <math>E_n</math> และ <math>|n\rang</math> ลงไปในสมการชเรอดิงเงอร์ที่ถูกรบกวน เช่นเดียวกับกรณีของ[[กลศาสตร์ควอนตัม: ทฤษฎีการรบกวน/ค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง|ค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง]] นั่นคือ

:<math>\left(H_0 + \lambda V \right) \left(\left |n^{(0)} \right \rang + \lambda \left |n^{(1)} \right \rang + \cdots \right) = \left(E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots \right) \left(\left |n^{(0)} \right \rang + \lambda \left |n^{(1)} \right \rang + \cdots \right)</math>

กระจายพจน์ต่างๆแล้วรวบเอาพจน์ที่มีลำดับอนุกรมเดียวกันไว้ด้วยกัน (กำลังของ λ) พจน์ที่มี <math>\lambda ^{2}</math> คือ

:<math> H_0 \left |n^{(2)} \right \rang +  H_1 \left |n^{(2)} \right \rang = E^{(0)}_n \left |n^{(2)} \right \rang + E^{(1)}_n  \left |n^{(1)} \right \rang + E^{(2)}   \left |n^{(0)} \right \rang </math>

จากนั้นใส่ผลคูณภายในของสมการนี้ด้วย  :<math>  \left \lang n^{(0)} \right |</math> จะได้ว่า

:<math>
\left \lang n^{(0)} \right | H_0 \left |n^{(2)} \right \rang + \left \lang n^{(0)} \right | H_1 \left |n^{(1)} \right \rang = \left \lang n^{(0)} \right | E^{(0)}_n \left |n^{(2)} \right \rang +\left \lang n^{(0)} \right | E^{(1)}_n \left |n^{(1)} \right \rang + \left \lang n^{(0)} \right | E^{(2)}_n \left |n^{(0)} \right \rang
</math>

เมื่อตัวดำเนินการ <math>H_0</math> ไปกระทำกับสถานะ แล้วทำการดึงค่าคงที่ออกมา จะได้

:<math>
E^{(0)}_n \left \lang n^{(0)} \right. \left |n^{(2)} \right \rang + \left \lang n^{(0)} \right | H_1 \left |n^{(1)} \right \rang = E^{(0)}_n \left \lang n^{(0)} \right. \left |n^{(2)} \right \rang + \left \lang n^{(0)} \right | E^{(1)}_n \left |n^{(1)} \right \rang + E^{(2)}_n \left \lang n^{(0)} \right. \left |n^{(0)} \right \rang
</math>

จากสมบัติเชิงตั้งฉาก (Orthogonality) จะได้ว่า

:<math>
E^{(2)}_n = \left \lang n^{(0)} \right | H_1 \left |n^{(1)} \right \rang -  E^{(1)} \left \lang n^{(0)} \right. \left |n^{(1)} \right \rang
</math>

แต่เนื่องจากว่า :<math>
\left \lang n^{(0)} \right. \left |n^{(1)} \right \rang =  \sum_{m \not= n} \left \lang n^{(0)} \right. \left |m^{(0)} \right \rang \left \lang m^{(0)} \right. \left |n^{(1)} \right \rang = 0
</math> จะได้

:<math>
E^{(2)}_n = \left \lang n^{(0)} \right | H_1 \left |n^{(1)} \right \rang
</math>

จาก[[กลศาสตร์ควอนตัม: ทฤษฎีการรบกวน/สถานะแก้ไขอันดับที่หนึ่ง|สถานะแก้ไขอันดับที่หนึ่ง]]  :<math> \left |n^{(1)} \right \rang = \sum_{m \not= n} \left |m^{(0)} \right \rang \frac{\left \lang m^{(0)} \right | H_1 \left |n^{(0)} \right \rang }{ E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} </math> นำไปแทนในสมการข้างบนดังนั้นจะได้ว่า

:<math>
E^{(2)}_n  = \sum_{m \not= n} \left \lang n^{(0)} \right | H_1 \left |m^{(0)} \right \rang \frac{\left \lang m^{(0)} \right | H_1 \left |n^{(0)} \right \rang }{ E_n^{(0)} - E_m^{(0)}}
</math>

จัดรูป จะได้ค่าการแก้ไขอันดับที่สองคือ

:<math>
E^{(2)}_n  = \sum_{m \not= n} \frac{ | \left \lang n^{(0)} \right | H_1 \left |m^{(0)} \right \rang|^{2}}{ E_n^{(0)} - E_m^{(0)}}
</math>

[[หมวดหมู่:ตำรา:ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม|ค่าการแก้ไขอันดับที่สอง]]